Witryna Czasopism.pl

nr 3 (229)
z dnia 5 lutego 2009
powrót do wydania bieżącego

zapraszamy | wybrane artykuły | autorzy | archiwum

2 + 2 = 4

Pewien agnostyk z Krakowa
Neoplatonizm studiował.
Rankami, bo przed kolacją
Anielił się z Alienacją,
Szepcąc jej „eppur si muova”.

He left Cracow in 2002
And now lives in a suburb of Crewe,
Were each night with all might
He holds Alienation tight,
Often yelling that „Eppur si screw”.


Niedawno pewien agnostyk z Krakowa zaskoczył mnie stwierdzeniem, że „matematyka jest najnudniejszą z nauk, gdyż 2 + 2 = 4 zawsze i wszędzie”. Czy rzeczywiście? Czy „2 + 2 = 4” to nic więcej niż nudna tautologia, odnosząca się do abstrakcyjnie zdefiniowanych pojęć, to znaczy liczb „2” i „4”, działania „+” oraz relacji „=” a więc, jak każda tautologia, słuszna zawsze i wszędzie?

Nikt nie zna odpowiedzi na to pytanie, a wielu sądzi, że w swej najgłębszej treści dotyczy ono fundamentalnej tajemnicy: niepojętej skuteczności matematyki w opisie realnego świata. Jeśli bowiem „2 + 2 = 4” jest tylko tautologią, wynikającą z abstrakcyjnych (być może nawet arbitralnych) definicji, to jak wytłumaczyć fakt, że gdy do kosza, w którym są dwa jabłka, dodamy jeszcze dwa, to w koszu będą na pewno cztery jabłka? Jeśli liczby, a z nimi cała matematyka, są wytworem ludzkiego umysłu, tak jak poezja lub muzyka, to jak to jest możliwe, że istniejące w rzeczywistym świecie jabłka „zawsze i wszędzie” stosują się do tych abstrakcyjnych, wymyślonych przez ludzi, praw matematyki, w tym do prawa, że „2 + 2 = 4”?

Liczenie jabłek w koszu może się wydać zbyt naiwnym przykładem na niepojętą skuteczność matematyki w opisie świata. Zgoda, ale właśnie od liczenia i liczebników (liczb naturalnych) matematyka się zaczęła: „Bóg stworzył liczby naturalne, inne są dziełem matematyków”, żartował Leopold Kronecker, słynny matematyk. Matematycy wyobrażają sobie różne rodzaje liczb oraz nieznane w arytmetyce lub w geometrii Euklidesa obiekty, działania i relacje. Są to abstrakcyjne twory intelektu, zupełnie niezależne od empirycznej realności świata. Dlaczego te, a nie inne? Jak działa matematyczna wyobraźnia, co nią kieruje? Eugene P. Wigner tak odpowiedział na to pytanie w słynnym wykładzie „The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural science” na New York University w maju 1959 roku:


Liczby zespolone dostarczają uderzającego przykładu... W naszym doświadczeniu nie istnieje nic, co sugerowałoby wprowadzenie tych wielkości. Rzeczywiście, jeśli matematyk zostanie poproszony o uzasadnienie swojego zainteresowania liczbami zespolonymi, wskaże on, z pewnym oburzeniem, na wiele pięknych twierdzeń w teorii równań, na szeregi potęgowe i na funkcje analityczne w ogólności, które zawdzięczają swoje powstanie wprowadzeniu liczb zespolonych. Matematyk nie ma zamiaru porzucać swojego zainteresowania tymi najpiękniejszymi dokonaniami swojego geniuszu1.


Wielu innych kompetentnych autorów zwraca uwagę na to samo: w swej twórczości, matematycy kierują się często, podobnie jak muzycy i poeci, odczuciami czysto estetycznymi. Wyobraźnia matematyczna to także „kwestia smaku”. Pewne matematyczne struktury są piękniejsze niż inne, pewne twierdzenia bardziej eleganckie:


Matematyka, widziana poprawnie, jest nie tylko prawdziwa, ale też piękna. Jej piękno, bez odniesienia do natury, jest wzniosłe i czyste, tak perfekcyjnie doskonałe, jak sztuka najwyższego lotu. Zachwyt, egzaltacja, poczucie transcendencji, są obecne w matematyce z taką samą pewnością, jak w poezji2.


Piękno matematyki jest także nieprzemijąjące. Upłynęło ponad dwa tysiące lat odkąd Euklides dowiódł, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Cały jego jasny i zwięzły dowód nieporuszenie trwa w zmiennej historii. W nim niczego nie trzeba zmieniać. Jest cudownie doskonały3.

Naprawdę niepojęte i zdumiewające jest to, iż najpiękniejsze twory wyobraźni matematyków nierzadko przekształcają się w najdoskonalsze modele realnego świata, a nawet przepowiadają nieodkryte jeszcze zjawiska. Tak właśnie stało się z abstrakcyjnymi ideami Bernharda Riemanna na temat dających się pomyśleć geometrii. Albert Einstein użył ich do skonstruowania swej ogólnej teorii względności, opisującej grawitacje jako riemannowską krzywiznę czasoprzestrzeni. Cała ogólna teoria względności zawarta jest w jednym tylko „równaniu Einsteina”, Gik = Tik. Jego pełne zrozumienie nie jest proste, wymaga bowiem poznania geometrii różniczkowej, rachunku tensorowego i klasycznej dynamiki. Tych z kolei nie da się studiować bez uprzedniej znajomości kilku innych działów matematyki. Dlatego ogólna teoria względności Einsteina wykładana jest nie wcześniej niż na trzecim roku studiów fizyki teoretycznej.

Bardzo lubię ten wykład. Każdego roku mozolnie podążam z małą grupą studentów przez zawiły gąszcz naprawdę trudnego formalizmu, aż w końcu wyłania się piękna, perfekcyjnie doskonała konstrukcja, którą jesteśmy urzeczeni, choć widzimy tylko jej małe fragmenty. Z równania Einsteina wynika cala dotychczasowa wiedza o dynamice kul bilardowych i pojazdów, ruchach planet, księżyców i komet w układzie słonecznym, gwiazd w galaktykach, torów rakiet i sztucznych satelitów, oraz efekty i zjawiska uprzednio nieznane – czarne dziury, rozszerzanie się Wszechświata, fale grawitacyjne... Teoria Einsteina, wysnuta z abstrakcyjnych rozważań geometrycznych wyjaśniła i przepowiedziała imponująco wiele zjawisk w ich bardzo dokładnych szczegółach. Jest to najpełniejsza i najdokładniej sprawdzona teoria fizyki. Nie jest ani łatwa, ani prosta. Jest natomiast piękna, co głęboko odczuwa każdy, kto ze zrozumieniem ją studiuje.

Paul Dirac, który odkrył antymaterię, poszukując eleganckich rozwiązań pewnego pięknego równania, twierdził, że poszukiwanie matematycznego piękna jest wręcz nakazem w badaniach przyrodniczych, ważniejszym niż poszukiwanie prostoty:


Badacz trudniący się wyjaśnianiem podstawowych praw przyrody musi przede wszystkim poszukiwać matematycznego piękna. Często piękno i prostota idą w parze, lecz gdy nie da się ich pogodzić, trzeba wybrać piękno4.


Niepojęta skuteczność matematyki w opisie realnego świata jest być może główną przyczyną powszechnego wśród fizyków i matematyków (neo)platońskiego poglądu, że prawd matematycznych nie tworzymy w naszej wyobraźni, że nie wyprowadzamy ich rozumowaniem z dowolnie założonych aksjomatów, lecz je odkrywamy, podobnie jak Kolumb odkrył Amerykę. „2 + 2 = 4” istnieje jako platońska idea, w niefizycznym świecie, do którego dostęp otwiera nasz umysł. Świat fizyczny, świat idei i świat umysłu są autonomiczne, ale przenikają się i oddziałują. To dlatego właśnie matematyka jest skuteczna, a „2 + 2 = 4” rządzi dodawaniem jabłek w koszu zawsze i wszędzie. Oraz baranów, elektronów, pieniędzy, agnostyków, partlufów, quiilantów, mnemen i aniołów. Aniołów? Wyobraźmy sobie apokaliptycznie ogromną liczbę „A”, która zapisana w układzie dziesiętnym zaczyna się od jedynki, po której następuje 666 zer, a za zerami, jako ostatnia cyfra, dwójka. Ile to będzie „A + 2”? Każdy, kto wie, że „2 + 2 = 4” od razu widzi, że „B = A + 2” to liczba mająca w swym dziesiętnym zapisie najpierw jedynkę, potem 666 zera na końcu czwórkę. Czy wynik dodawania „B = A + 2”, będący matematyczną prawdą podobnie jak matematyczną prawdą jest „2 + 2 = 4”, może mieć jakąkolwiek empiryczną interpretację jako działanie na liczebnikach, to znaczy liczbach oznaczających ilość „czegoś”, jakichś materialnych bytów? Na pewno nie, bo liczby A i B są o wiele większe od ilości wszystkich cząstek materii w całym kauzalnie dostępnym Wszechświecie. Nie można więc policzyć, że „czegoś” jest A, dodać do tego 2 „czegoś” i przeliczyć, że teraz jest B „czegoś”. Tylu materialnych przedmiotów nie ma w całym Wszechświecie! Chyba że... no właśnie – jak wielka gromada aniołów może tańczyć na ostrzu szpilki5? Fakt, iż wyniesiona ze szkoły elementarna znajomość matematyki pozwala nam operować tak niewyobrażalnie wielkimi liczbami, zasługuje na chwilę refleksji. Jeszcze bowiem stosunkowo niedawno zupełny arytmetyczny analfabetyzm był powszechny, a i dziś można spotkać dorosłych nie umiejących liczyć.


Pasterze, chcąc wieczorem sprawdzić po powrocie z pastwiska, czy mają tę samą ilość owiec, z jaką rano wyruszyli, przed wyjściem na wypas odkładali na stos po jednym kamieniu za każdą owcę. Przypędziwszy owce wieczorem, zabierali ze stosu po jednym kamieniu za każdą owcę, która cało wróciła do owczarni. Jeśli jakieś kamienie zostawały, wiadomo było, ile zginęło owiec. W ten sposób mogli sprawdzić stan licznego nawet stada nie mając pojęcia o dużych liczbach i nie znając żadnej metody systematycznego rachowania”. Liczenie tą kamykową metodą musiało być powszechne, skoro łacińskie słowo calculus oznacza zarówno „liczenie” (kalkulację), jak i „kamyk”6.


Wróćmy do apokaliptycznej liczby „A”, zauważmy, że jest parzysta, i zapytajmy, czy można ją zapisać jako sumę dwóch liczb pierwszych? Na to pozornie niewinne i łatwe pytanie nie znamy odpowiedzi. W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera7, Christian Goldbach (wyższy urzędnik w Petersburgu, wychowawca Piotra II) sformułował hipotezę, którą potem Euler uściślił jako hipotezę Goldbacha: „Każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”. Większość matematyków sądzi, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa, ale nikt nie wykazał jej prawdziwości (lub fałszywości). Dla „małych” liczb 4, 6, 8, 10, 12,... można ją oczywiście sprawdzić bezpośrednio, zaczynając od naszego „2 + 2 = 4”, kontynuując poprzez „3 + 3 = 6”, „3 + 5 = 8”, „3 + 7 = 10”, „5 + 7 = 12”, i tak dalej, aż do (na dziś osiągniętych) liczb 17-cyfrowych. Takie sprawdzanie nie tylko nigdy się nie skończy, ale zapewne nigdy nie dojdzie nawet do naszej apokaliptycznej liczby „A”, która jest 668-cyfrowa. Niektórzy sądzą, że hipotezy Goldbacha nie da się nigdy udowodnić (lub obalić), gdyż jest ona nierozstrzygalna w sensie Gödla. Kurt Gödel udowodnił, że istnieją poprawnie sformułowane zdania dotyczące liczb naturalnych, których prawdziwości nie da się ani dowieść, ani jej zaprzeczyć. Jest to zdumiewające odkrycie, z całą pewnością jedno z najdonioślejszych w całych dziejach naszej kultury.

Odbyliśmy daleką drogę: od liczenia na kamyczkach, od „2 + 2 = 4”, do twierdzenia Gödla i arytmetyki pozaskończonej Cantora. Z kwadracików, trójkącików i kółek nauczyliśmy się nieskończoności, ale wciąż nie rozumiemy, dlaczego matematyka jest tak bardzo skuteczna w opisie realnego świata. Wigner zakończył swój nowojorski wykład żartobliwą przestrogą: „Użyteczność języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem, którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy. Powinniśmy być za niego wdzięczni i mieć nadzieję, że pozostanie on w mocy w przyszłości, a może nawet rozszerzy się, lepiej lub gorzej, na inne gałęzie wiedzy, wprowadzając do nich jasność... lub zamęt”.

Marek Abramowicz


Przypisy:
1 Polskie tłumaczenie zaczerpnięte z: „Zagadnienia filozoficzne w nauce”, XIII, 1991, s. 5-18.

2 Bertrand Russell, Study of Mathematics, 1902. Nawet w ledwie cząstce poznana, może matematyka objawić swe zniewalająco atrakcyjne piękno z niedającą się odeprzeć mocą. Wybitny antropolog Robert Briffault opisywał, że „kiedy na Samoa otwarto po raz pierwszy szkoły powszechne, tubylców ogarnął istny szał na punkcie obliczeń arytmetycznych. Odłożyli na bok broń, i widziano, jak krążą uzbrojeni w ołówki i tabliczki łupkowe, zadając sobie nawzajem i przyjezdnym Europejczykom ćwiczenia arytmetyczne” (Cytuję za John D. Barrow, Pi razy drzwi, Prószyński i S-ka, 1991).

3 Oto dowód Euklidesa: Dowiedziemy, że hipoteza, iż istnieje skończona ilość liczb pierwszych, jest fałszywa. W tym celu przypuścimy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych, powiedzmy n, i pokażemy, że to przypuszczenie prowadzi do sprzeczności. Rzeczywiście, zgodnie z przypuszczeniem o skończonej ilości liczb pierwszych, możemy je zebrać w zbiór: p(1), p(2), p(3),... p(n). Pomnóżmy je wszystkie kolejno i do wyniku dodajmy 1. Tak utworzoną liczbę nazwijmy X. Jest wiec X = p(1)*p(2)*p(3)*....*p(n) + 1. Zachodzą dwie możliwości: albo X jest liczba pierwsza, i wtedy od razu mamy sprzeczność, gdyż X nie należy do zbioru p(1), p(2), p(3) ,.... p(n), albo X jest liczbą złożoną. Jeśli X jest liczba złożoną, to musi mieć dzielnik pierwszy różny od wszystkich liczb p(1), p(2), p(3) ,.... p(n), gdyż X nie dzieli się przez żadną z nich. Zatem obie możliwości dają sprzeczność, która dowodzi, że nasze przypuszczenie o skończonej ilości liczb

pierwszych, jest fałszywe. To kończy dowód.

4 P.A.M. Dirac, „The Relation Between Mathematics and Physics”, wykład dla Royal Society of Edinburgh w lutym 1939.

5 W bardzo ciekawym artykule („Delta” 12/1979) Marcin Mostowski i Lesław Szczerba prostują powszechne lecz błędne mniemanie, że średniowieczni teologowie twierdzili jakoby, iż ogromna mnogość aniołów może tańczyć na ostrzu szpilki. Cytują Tomasza z Akwinu (Summa Theologiae, O Aniołach), który dowodzi, że w jednym miejscu może znajdować się tylko jeden anioł i pokazują, że doctor angelicus popełnił w swym rozumowaniu formalny błąd logiczny.

6 Cały akapit pochodzi z John D. Barrow, dz. cyt.

7 Szwajcar Leonhard Paul Euler (1707-1783) był genialnym matematykiem, jednym z największych w historii. Matematycy tak definiują matematyka: "(1) Matematyk, to ktoś, kogo inny matematyk uważa za matematyka. (2) Euler był matematykiem.". Jest to zabawny przykład definicji przez indukcję.


Artykuł pochodzi z czasopisma „Tematy z Szewskiej” nr 1 (2) 2008.

zobacz w najnowszym wydaniu Witryny:
KOMEDIA NIE JEST (POLSKĄ) KOBIETĄ
PASOLINI – REAKTYWACJA
PLANETA PRL
felieton__PiSarz i POeta
...O CZASOPISMACH KULTURALNYCH
O CZASOPISMACH OTWARTYCH I ZAMKNIĘTYCH, CZYLI O TYM, DLACZEGO KAPELUSZ MIAŁBY PRZERAŻAĆ
zobacz w poprzednich wydaniach Witryny:
MIĘDZY METASTAZĄ A KOŃSKIM OGONEM
’68 I DALEJ
PAWEŁ I GAWEŁ – WYCZEKIWANIE PUENTY

buduj Witrynę | © 2004 Fundacja Otwarty Kod Kultury | pytania? | kontakt